Question

底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PA⊥平面ABCD，點E在PD上，且=2.

(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小;；

(Ⅱ)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC,若存在,確定點F的位置;若不存在,請說明理由.

Answer 1

答案：解法一：(Ⅰ)作EM⊥AD于M,∵PA⊥面ABCD.

∴面PAD⊥面ABCD

作MN⊥AC于N,連接NE,則NE⊥AC,

∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角, 

∵EM=PA=a,AM=a,∴MN=AM·sin60°=a·=a.∴tanENM=.

∴二面角E-AC-D的大小為30°. 

(Ⅱ)取PC中點F,PE中點Q,連接FQ、BF、BQ,

設AC∩BD=O,連OE,則OE∥BQ,OF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE, 

∴在棱PC上存在中點F,使BF∥平面AEC. 

解法二：(Ⅰ)建立如圖所示空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(a,-a,0),D(0,a,0),

C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a),

∴=(0,a；a),=(a,a,0),

設平面ACE的法向量為n=(x,y,z)則,可得n=(,-,1),

而平面ACD的法向量為n₁==(0,0,a), 

∴cos〈n·n₁〉=,∴二面角E-AC-D的大小為30°.  

(Ⅱ)由(Ⅰ)=(a,a,-a),設F為PC上一點,且=(λa,λa,-λa),

又=(-a,a,a),∴=+=(a(λ-1),(1+λ)a,a(1-λ))

令=λ₁+λ₂,∴=λ₁(a,a,0)+λ₂(0,a,a),

則  解得

∴當λ=時,=-+,

即與,共面,此時F為BC中點,又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.

解法三：(Ⅱ)取PC中點F,由

===.

∴BF與AE共面,又BF面ACE.∴BF∥平面ACE.