Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下焦點分別為F₁，F(xiàn)₁，短軸兩個端點為P，P₁，且四邊形F₁PF₂P₁是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)△ABC，AC=2

3

，B為橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）在x軸上方的頂點，當(dāng)AC在直線y=-1上運動時，求△ABC外接圓的圓心Q的軌跡E的方程；
（3）過點F（0，

3

2

）作互相垂直的直線l₁l₂，分別交軌跡E于M，N和R，Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，由于四邊形F₁PF₂P₁是邊長為2的正方形，可得a=2，b=c，再利用a²=b²+c²=2b²，解得b²即可；
（2）由（1）可知B（0，2）．設(shè)A(m-

3

，-1)，C(m+

3

，-1)，分別求出AC與AB的垂直平分線方程，聯(lián)立即可得出；
（3）直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，直線l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

．分別與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式和基本不等式即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，∵四邊形F₁PF₂P₁是邊長為2的正方形，∴a=2，b=c，∴4=a²=b²+c²=2b²，解得b²=2．
∴橢圓的方程為

y2

4

+

x2

2

=1；
（2）由（1）可知B（0，2）．
設(shè)A(m-

3

，-1)，C(m+

3

，-1)，則AC的垂直平分線x=m．線段AB的中點為(

m- 3

2

，

1

2

)，kAB=

3

3 -m

，其垂直平分線的斜率為-

3 -m

3

，故AB的垂直平分線的方程為y=

m- 3

3

(x-

m- 3

2

)+

1

2

，與x=m聯(lián)立解得x²=6y．
（3）①直線l₁，l₂的斜率一個為0而另一個不存在時，不符合題意．
②直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，直線l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

．
聯(lián)立

y=kx+ 3 2 x2=6y

，化為y2-(3+6k2)y+

9

4

=0，∴y1+y2=3+6k2．
∵直線l₁過拋物線的焦點F(0，

3

2

)，
∴|MN|=y₁+y₂+p=3+6k²+3=6（1+k²）．同理|PQ|=6(1+

1

k2

)．
∴S=

1

2

|MN| |PQ|=18(k2+

1

k2

+2)≥18(2

k2• 1 k2

+2)=72，當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時等號成立．
故當(dāng)k=±1時，此時四邊形MRNQ的面積取得最小值72．

點評：本題綜合考查了橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、四邊形的面積公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．