Question

已知O，A，B是同一平面內不共線的三點，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

，則下列命題正確的是

①②③④⑤

．（寫出所有正確命題的編號）
①若λ=

1

2

，μ=

1

2

，則點M是線段AB的中點；
②若λ=-1，μ=2，則M，A，B三點共線；
③若λ=

1

| OA |

，μ=

1

| OB |

，則點M在∠AOB的平分線上；
④若λ=

1

3

，μ=

1

3

，則點M是△OAB的重心；
⑤若點M在△OAB外，則λ＜0或μ＜0或

λ＞ 1 2 μ＞ 1 2

．

Answer 1

分析：由已知可得

AB

=2

AM

，即點M是線段AB的中點，可判斷①的真假；由已知可得

AM

=2

AB

，故M，A，B三點共線，可判斷②的真假；根據

OA

| OA |

表示與

OA

同向的單位向量，可得M點是以

OA

同向的單位向量和又

OB

同向的單位向量為兩鄰邊的菱形對角線頂點上，進而根據菱形的性質，可判斷③的真假；由已知可得

MA

+

MB

+

MO

=

0

，可得M為三角形的重心，進而判斷④的真假；根據已知分析點M在△OAB外的各種情況，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：當λ=

1

2

，μ=

1

2

時，

OM

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，此時

AB

=

OB

-

OA

，

AM

=

OM

-

OA

=-

1

2

OA

+

1

2

OB

，故

AB

=2

AM

，即點M是線段AB的中點，故①正確；
當λ=-1，μ=2時，

OM

=-

OA

+2

OB

，此時

AB

=

OB

-

OA

，

AM

=

OM

-

OA

=-2

OA

+2

OB

=2

AB

，故M，A，B三點共線，故②正確；
當λ=

1

| OA |

，μ=

1

| OB |

時，

OM

=

OA

| OA |

+

OB

| OB |

，此時M點是以

OA

同向的單位向量和又

OB

同向的單位向量為兩鄰邊的菱形對角線頂點上，根據菱形對角線平分對角，可得點M在∠AOB的平分線上，故③正確；
當λ=

1

3

，μ=

1

3

時，

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

，此時

MA

+

MB

+

MO

=

0

，可得M為三角形的重心，故④正確；
反向延長OA，OB，分別計為OC，OD，當M點在區域AOC上時，λ＜0；當M點在區域BOD上時，μ＜0；當M點在區域COD上時，λ＜0且μ＜0；當M點在區域COD上時，λ＞0且μ＞0，若此時M點△OAB外，則

λ＞ 1 2 μ＞ 1 2

，故⑤正確
故答案為：①②③④⑤

點評：本題又命題的真假判斷為載體考查了向量的性質，是向量問題的綜合應用，難度稍大，屬中檔題．