Question

（文科）已知數列{a_n}的各項均為正數，其前項和為，且對于任意的，都有點（a_n，S_n）在直線y=2x-2上
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2log₂a_n-1，求數列{

bn

an

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由題意點（a_n，S_n）在直線y=2x-2上，可得S_n=2a_n-2，利用遞推公式 an=

S1   n=1 Sn-Sn-1，  n≥2

可求a_n；
（2）由（1）可求b_n=2n-1，則數列b_n為等差數列，而數列a_n為等比數列，

bn

an

=

2n-1

2n

=(2n-1)(

1

2

)n適合用錯位相減求和．

解答：解：（1）由已知S_n=2a_n-2  ①，當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2 ②
①-②得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-2a_n-1，

an

an-1

=2
又n=1時有S₁=2a₁-2，得a₁=2
∴{a_n}是首項a₁=2，公比q=2的等比數列，
故數列{a_n}的通項公式為：a_n=2ⁿ
（2）由（1）知b_n=2log₂a_n-1=2log₂2ⁿ-1=2n-1，所以

bn

an

=

2n-1

2n

=(2n-1)(

1

2

)n
數列{

bn

an

}的前n項和T_n=1×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+…+(2n-1)(

1

2

)n  ③
③式兩邊同乘以

1

2

得，

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+(2n-1)(

1

2

)n+1  ④
③-④得

1

2

T_n=

1

2

+2[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]-(2n-1)(

1

2

)n+1
=

1

2

+

2× 1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)(

1

2

)n+1=

3

2

-(

1

2

)n-1-(2n-1)(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n+1(4+2n-1)=

3

2

-(

1

2

)n+1(2n+3)
故T_n=3-（2n+3）(

1

2

)n

點評：本題考查數列的遞推公式的運用、錯位相減求和的運用，該求和方法已知求和的熱點、難點，運用的關鍵是理解該方法的實質，掌握該求和的基本步驟．