Question

（2010•桂林二模）已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，O為坐標原點，橢圓上的點到焦點距離的最大值為

2

+1，最小值為

2

-1
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線l：y=kx+m與⊙O相切，與橢圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且滿足

2

3

≤x₂•x₂+y₁•y₂≤

3

4

，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知

a+c= 2 +1 a-c= 2 -1

，解得a=

2

，c=1，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由圓O與直線l相切，知m²=k²+1．由

x2 2 +y2 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直線l與橢圓交于兩個不同的點，知k²＞0．由韋達定理知x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

，由

2

3

≤x₂•x₂+y₁•y₂≤

3

4

，知

1

2

≤k2≤1，所以S△AOB=

1

2

•|AB|•1=

1

2

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )2-4× k2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，由此能求出△AOB面積S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題設知

a+c= 2 +1 a-c= 2 -1

，
解得a=

2

，c=1，
∴b²=1．
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，
∵

|m|

k2+1

=1，
∴m²=k²+1．
由

x2 2 +y2 =1 y=kx+m

，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個不同的點，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0．
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1•x2=

2m2-2

1+2k 2

=

2k2

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2  +km(x1+x2)+m2=

1-k2

1+2k2

，
x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

，
∵

2

3

≤x₂•x₂+y₁•y₂≤

3

4

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
∴

1

2

≤k2≤1，
∴S△AOB=

1

2

•|AB|•1
=

1

2

1+k2

•

(- 4km 1+2k2 )2-4× k2 1+2k2

=

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
設μ=k⁴+k²，則

3

4

≤μ≤2，
S=

2μ 4μ+1

，μ∈[

3

4

，2]，
∵S關于μ∈[

3

4

，2]上單調遞增，
∴△AOB面積S的最大值為S(2)=

2×2 4×2+1

=

2

3

．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．