Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）．
（I）若函數f（x）的圖象過點（0，3），求f（x）；
（Ⅱ）在（I）的條件下，對于任意x₀∈[-6，6]，求使f（x₀）≥-2的概率；
（Ⅲ）當x∈[0，1]時，試討論|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．

Answer 1

分析：（I）有不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）可知f（x）=2x的解為x=-1或x=3．將點（0，3）代入f（x）有a=-1，故f（x）=-x²+4x+3
（Ⅱ） 根據f（x₀）≥-2求出x的取值范圍．用基本事件的長度比上總時間的長度即可
（Ⅲ） 設 r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，r（0）=1．求出對稱軸，再根據 題意求出a的取值范圍即可．

解答：解：設f（x）-2x=a（x+1）（x-3）（a＜0）
（I） 將點（0，3）代入f（x）有a=-1，故f（x）=-x²+4x+3-------------------（3分）
（Ⅱ）   由f（x₀）≥-2解得：-1≤x≤5
記“使f（x₀）≥-2”為事件A，則其概率為：P(A)=

5-(-1)

6-(-6)

=

1

2

．
則使f（x₀）≥-2的概率為

1

2

．-------------（6分）
（Ⅲ）   設 r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，r（0）=1，對稱軸為x=-

1

2a

，
由題意，得其充要條件是

- 1 2 ≤a＜0 r(1)=a+2≤3

⇒-

1

2

≤a＜0；-------------（9分）
或

a＜- 1 2     r(1)=a+2≥-3

=1-

1

4a

≤3⇒-5≤a＜-

1

2

------------（12分）
解得：-5≤a＜0，
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件是-5≤a＜0------------（14分）

點評：本題考查概率的應用和性質，出題者巧妙地把函數和概率融合在一起，體會了出題者的智慧，解題時也要合理地運用函數的性質進行求解．