Question

 已知函數的圖象經過坐標原點，且 的前

   （I）求數列的通項公式；

   （II）若數列滿足，求數列的前n項和。

   （Ⅲ）設，，其中，試比較與的大小，并證明你的結論。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 思路點撥：本題將數列與函數、導數知識有機的結合在一起，綜合考查了導數的逆用，對數的運算、等差數列、等差數列的求和、錯位相減法等知識點以及分析問題、綜合解決問題的能力。（Ⅰ）首先利用導數知識求出的關系式，然后利用與的關系求；（Ⅱ）利用對數知識求出，然后利用錯位相減法求數列的前n項和，（Ⅲ）是一個是開放性問題，利用等差數列求和公式求出和，然后利用作差法比較大小。

解：（I）由得

因為的圖象過原點，所以

所以      …………2分

當時，  

又因為適合

所以數列的通項公式為 …………4分

   （II）由得：

   …………5分

所以 ……（1）

所以 …………（2）   -------6分

   （2）－（1）得：

所以   …………8分

   （Ⅲ）組成以0為首項6為公差的等差數列，所以M ；             ----------------9分

 組成以18為首項4為公差的等差數列，所以          -----------------10分

故      ---------11分

所以，對于正整數n，當時，；

當n=19時，；

當時，。          ------------------------14分

歸納總結：求解有關數列的綜合題，首先要善于從宏觀上整體把握問題，能透過給定信息的表象，揭示問題的本質，然后在微觀上要明確解題方向，化難為易，化繁為簡，注意解題的嚴謹性。數列問題對能力要求較高，特別是運算能力、歸納、猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出。而解答題更是考查能力的集中體現，尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查，應引起我們足夠的重視，因此，在平時要加強對能力的培養．