Question

給出下列四個命題：
①函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數y=x³與y=3^x的值域相同；
③函數y=

1

2

+

1

2x-1

與y=

(1+2x)2

x•2x

都是奇函數；
④函數y=（x-1）²與y=2^x-1在區間[0，+∞）上都是增函數，其中正確命題的序號是（　　）

A．（1）（3）

B．（1）（4）

C．（2）（3）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：①函數y=a^x與函數y=log_aa^x的定義域都為R，
②函數y=x³的值域為R，而y=3^x＞0，
③令f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

，g（x）=y=

(1+2x)2

x•2x

，，檢驗f（-x）與f（x），g（-x）與g（x）的關系可檢驗函數的奇偶性
④根據二次函數的性質可知函數y=（x-1）²與在[0，1]上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增，函數y=2^x-1在區間[0，+∞）上是增函數

解答：證明：①函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域都為R，故①正確
②函數y=x³的值域為R，而y=3^x＞0，則值域不相同，故②錯誤
③∵f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

∴f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-f（x），
而g（x）=y=

(1+2x)2

x•2x

，g（-x）=

(2-x+1)2

(-x)•2-x

=

(2x+1 )2

(-x)•2x

=-g（x），故都是奇函數；
④根據二次函數的性質可知函數y=（x-1）²與在[0，1]上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增，函數y=2^x-1在區間[0，+∞）上是增函數，故④錯誤
故選A

點評：本題主要考查了指數函數、對數函數與冪函數的定義域 與值域的求解，函數的奇偶性的判定，二次函數與指數函數的單調區間的判定，屬于函數知識的綜合應用．