Question

【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A1B與B1C1所成的角為60°.

(1)求該三棱柱的體積;

(2)設(shè)D是BB1的中點(diǎn),求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn),為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用異面直線A1B與B1C1所成的角為60°求得h=1即得該三棱柱的體積.(2)利用向量法求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.

(1)如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn),為x,y,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AA1=h,則B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),

則=(-1,0,h),=(-1,1,0).

因?yàn)橹本�A1B與B1C1所成的角為60°,

所以|cos<>|=,

解得h=1.

于是三棱柱體積V=Sh=×1×1=.

(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),=(-1,1,1).

設(shè)平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),

則可取n=(1,0,1).

又因?yàn)镈.

于是sin θ=|cos<,n>|=,

所以DC1與平面A1BC1所成角的正弦值為.