Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且經過點，直線交橢圓于不同的兩點A，B.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線不過點M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）參考解析

試題分析：（Ⅰ）已知橢圓的焦點在x軸上，離心率為，且經過點，利用待定系數法求出橢圓的方程.
（Ⅱ）由于直線交橢圓于不同的兩點A，B.所以直線與橢圓方程聯立消去y后，得到關于x的一元二次方程，這個方程的的判別式要大于零即可求出m的范圍.
（Ⅲ）直線不過點M，要求證直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.將該問題等價轉化為直線MA與直線MB的斜率何為零.所以通過計算兩直線的斜率，并用A,B的坐標表示，通過通分整理再結合（Ⅱ）所得的韋達定理即可得分子為零.及證明了斜率和為零從而可結論.
試題解析：(Ⅰ)設橢圓的方程為，因為，所以，又因為，所以，解得，故橢圓方程為 
(Ⅱ)將代入并整理得，，解得 
（Ⅲ）設直線的斜率分別為和，只要證明.設，，
則。