Question

數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A（2，0），B（0，4），若其歐拉線的方程為x-y+2=0，則頂點C的坐標是（　�。�

• A、（-4，0）
• B、（0，-4）
• C、（4，0）
• D、（4，0）或（-4，0）

Answer 1

分析：設出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯立求得點C的坐標．

解答：解：設C（m，n），由重心坐標公式得，
三角形ABC的重心為（

2+m

3

，

4+n

3

），
代入歐拉線方程得：

2+m

3

-

4+n

3

+2=0，
整理得：m-n+4=0  ①
AB的中點為（1，2），kAB=

4-0

0-2

=-2，
AB的中垂線方程為y-2=

1

2

（x-1），即x-2y+3=0．
聯立

x-2y+3=0 x-y+2=0

，解得

x=-1 y=1

．
∴△ABC的外心為（-1，1）．
則（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8  ②
聯立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
當m=0，n=4時B，C重合，舍去．
∴頂點C的坐標是（-4，0）．
故選：A．

點評：本題考查直線方程的求法，訓練了直線方程的點斜式，考查了方程組的解法，是基礎的計算題．