Question

已知動圓S過點T（0，2）且被x軸截得的弦CD長為4。
（1）求動圓圓心S的軌跡E的方程；
（2）設P是直線l：y=x-2上任意一點，過P作軌跡E的切線PA，PB，A，B是切點，求證：直線AB恒過定點M；
（3）在（2）的條件下，過定點M作直線l：y=x-2的垂線，垂足為N，求證：MN是∠ANB的平分線。

Answer 1

解：（1）設S（x，y），根據題意，
|ST|²=|SC|²=2²+|y|²，
即。
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以
則PA：，即
設P（t，t-2），P在PA上
同理，P在PB上
故x₁，x₂是方程
的兩根，



故恒過點（2，2）。
（3）證明：過點M所作垂線l₁的方程為y-2=-（x-2）x+y-4=0，解出垂足N（3，1）
MN的斜率為-1，故傾斜角為
若AN，BN的斜率均存在，則設其分別為k₁，k₂，
對應的傾斜角分別為α，β，
要證MN是∠ANB的平分線，只要證∠ANM=∠BNM，
即，
即要證k₁k₂=1

設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y= k（x-2）+2代入x²=4y，
得x²-4kx+8k-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-8
y₁+y₂=k（x₁-2）+2+k（x₂-2）+2 =4k²-4k+4，②

將②，③代入①，得
 
當時，k₁k₂=1，當時，解得A，B兩點的坐標分別為（-2，1），，
驗證AN與BN的斜率一個不存在，一個為零，
即∠ANM=∠BNM，
即MN是∠ANB的平分線。