Question

如圖所示，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過點A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O₁、⊙O₂于點D、E，DE與AC相交于點P．
（I）求證：AD∥EC；
（II）若AD是⊙O₂的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AB，根據弦切角等于所夾弧所對的圓周角得到∠BAC=∠D，又根據同弧所對的圓周角相等得到∠BAC=∠E，等量代換得到∠D=∠E，根據內錯角相等得到兩直線平行即可；
（II）根據切割線定理得到PA²=PB•PD，求出PB的長，然后再根據相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根據切割線定理得AD²=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．
解答：解：（I）證明：連接AB，
∵AC是⊙O₁的切線，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O₁的切線，PD是⊙O₁的割線，
∴PA²=PB•PD，
∴6²=PB•（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O₂中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O₂的切線，DE是⊙O₂的割線，
∴AD²=DB•DE=9×16，
∴AD=12
點評：此題是一道綜合題，要求學生靈活運用直線與圓相切和相交時的性質解決實際問題．本題的突破點是輔助線的連接．