Question

已知A，B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點，線段AB的長為2，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，
①當|PQ|=3時，求直線l的方程；
②試問在x軸上是否存在點E（m，0），使•恒為定值？若存在，求出E點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設D（x，y），A（a，a），B（b，-b），然后根據線段AB的長為2，D是AB的中點消去a與b，得到x與y的等量關系，即為動點D的軌跡C的方程；
（2）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點到直線的距離公式建立等式關系，從而求出直線方程；
②討論直線l的斜率是否存在，不存在時直接求•，存在時，將直線與圓聯立方程組，消去y，然后設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將•表示出來，使其與k無關即可求出m的值．
解答：解：（1）設D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中點，∴x=，y=，
∵|AB|=2，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴點D的軌跡C的方程為x²+y²=3．
（2）①當直線l與x軸垂直時，P（1，），Q（1，-），此時|PQ|=2，不符合題意；
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為，
由=，解得k=±．故直線l的方程為y=±（x-1）．
②當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則由韋達定理得x₁+x₂=，x₁x₂=，
則=（m-x₁，-y₁），=（m-x₂，-y₂），
∴•=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-++k² （-+1）=
要使上式為定值須=1，解得m=1，∴•為定值-2，
當直線l的斜率不存在時P（1，），Q（1，-），
由E（1，0）可得=（0，-），=（0，），
∴•=-2，
綜上所述當E（1，0）時，•為定值-2．
點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及軌跡問題和直線和圓的方程的應用，同時考查轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．