Question

已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．
（1）若b_n=a_n-2n+1，求證：數列{b_n}（n∈N⁺）是常數列，并求{a_n}的通項；
（2）若S_n是數列{a_n}的前n項和，又c_n=（-1）ⁿS_n，且{c_n}的前n項和T_n＞tn²在n∈N⁺時恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．我們易得到a_n-2n+1=2[a_n-1-2（n-1）+1]，又由b_n=a_n-2n+1，可得b_n=2b_n-1，且b₁=0，進而易判斷出數列{b_n}（n∈N⁺）是常數列，即b_n=0，再由b_n=a_n-2n+1，即可給出數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）中結論，我們易得數列{a_n}為等差數列，進而易得到S_n的表達式，根據c_n=（-1）ⁿS_n，求出對應的{c_n}后，分n為奇數和偶數兩種情況分別求出T_n解對應的不等式式，即可求出實數t的取值范圍．
解答：解：（1）由a_n=2a_n-1-2n+5知：a_n-2n+1=2[a_n-1-2（n-1）+1]，而a₁=1
于是由b_n=a_n-2n+1，可知：b_n=2b_n-1，且b₁=0
從而b_n=0，故數列{b_n}是常數列．
于是a_n=2n-1．（5分）
（2）S_n是{a_n}前n項和，則S_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²，c_n=（-1）ⁿn²
當n為奇數時，即n=2k-1，T_n=T_2k-1=-1²+2²-3²+4²+…+（2k-2）²-（2k-1）²
=-k（2k-1）=-
當n為偶數時，T_n=T_2k=T_2k-1+（2k）²=．
∴T_n=．
由T_n＞tn²恒成立，則需＞tn²恒成立．只需n為奇數時恒成立．
∴（n=1，3，5，7，），
∴（n=1，3，5，7，）恒成立．
而，
∴t＜-1，故所需t的范圍為（-∞，-1）．（13分）
點評：本題考查的知識點是數列遞推公式及數列與不等式的綜合應用，其中根據已知中數列的遞推公式a_n=2a_n-1-2n+5求出數列{a_n}的通項公式是解答本題的關鍵．