Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為（1+cos2θ）=8sinθ．

（1）求曲線C的普通方程；

（2）直線l的參數方程為,t為參數直線與y軸交于點F與曲線C的交點為A，B，當|FA||FB|取最小值時，求直線的直角坐標方程．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y；（2）y=1

【解析】

（1）根據x=ρcosθ，y=ρsinθ將極坐標方程化為普通方程，（2）將直線參數方程代入拋物線方程，利用韋達定理以及參數幾何意義求|FA||FB|，最后根據三角函數有界性確定最值，解得結果.

（1）由題意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos2θ=8sinθ，得ρ2cos2θ=4ρsinθ，

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2=4y，即曲線C的普通方程為x2=4y．

（2）由題意可知，直線與y軸交于點F（0，1）即為拋物線C的焦點，

令|FA|=|t1|，|FB|=|t2|，將直線的參數方程代入C的普通方程x2=4y中，

整理得t2cos2α-4tsinα-4=0，

由題意得cosα≠0，根據韋達定理得：t1+t2=，t1t2=，

∴|FA||FB|=|t1||t2|=|t1t2|=≥4，（當且僅當cos2α=1時，等號成立），

∴當|FA||FB|取得最小值時，直線的直角坐標方程為y=1．