Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中點，Q是A₁B₁上的任意一點，E、F是CD上的任意兩點，且EF的長為定值．現有如下結論：
①異面直線PQ與EF所成的角是定值；
②點P到平面QEF的距離是定值；
③直線PQ與平面PEF所成的角是定值；
④三棱錐P-QEF的體積是定值；
⑤二面角P-EF-Q的大小是定值．
其中正確結論的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①因為P是A₁D₁的中點，Q是A₁B₁上的任意一點，E、F是CD上的任意兩點，所以異面直線PQ與EF所成的角不是定值；
②P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距離是定值；
③Q是動點，EF也是動點，推不出定值的結論，所以就不是定值；
④根據等底同高的三角形面積相等及①的結論結合棱錐的體積公式，可以判斷三棱錐的體積固定；
⑤根據A₁B₁∥CD，Q為A₁B₁上任意一點，可得二面角P-EF-Q的大小為定值．

解答：解：①因為P是A₁D₁的中點，Q是A₁B₁上的任意一點，E、F是CD上的任意兩點，所以異面直線PQ與EF所成的角不是定值，即①不正確；
②QEF平面也就是平面A₁B₁CD，既然P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距離是定值，即②正確；
③Q是動點，EF也是動點，推不出定值的結論，所以就不是定值，即③不正確；
④因為EF定長，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長，即底和高都是定值，根據1的結論P到QEF平面的距離也是定值，所以三棱錐的高也是定值，于是體積固定，即④正確；
⑤∵A₁B₁∥CD，Q為A₁B₁上任意一點，E、F為CD上任意兩點，∴二面角P-EF-Q的大小為定值，即⑤正確．
故選D．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，二面角，棱錐的體積及點到平面的距離，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．