已知△
的兩個頂點
的坐標分別是
，
，且
所在直線的斜率之積等于
．
（1）求頂點
的軌跡
的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（2）當
時，過點
的直線
交曲線
于
兩點，設點
關于
軸的對稱點為
(
不重合)， 試問：直線
與
軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.
（1）詳見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）設出頂點C的坐標，由AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）列式整理得到頂點C的軌跡E的方程，然后分m的不同取值范圍判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）把
代入E得軌跡方程，由題意設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求出M，N兩點的橫坐標的和與積，由兩點式寫出直線MQ的方程，取y=0后求出x，結合根與系數關系可求得x=2，則得到直線MQ與x軸的交點是定點，并求出定點．.
試題解析：（1）由題知：
化簡得：
2分
當
時 軌跡表示焦點在
軸上的橢圓，且除去
兩點；
當
時 軌跡表示以
為圓心半徑是１的圓，且除去兩點；
當
時 軌跡表示焦點在軸上的橢圓，且除去兩點；
當
時 軌跡表示焦點在軸上的雙曲線，且除去兩點；6分
（2）設
依題直線的斜率存在且不為零，則可設:
，
代入
整理得
，
， 9分
又因為不重合，則
的方程為
令
，
得
故直線過定點
. 14分
解二：設
依題直線的斜率存在且不為零，可設:
代入整理得：
,
， 9分的方程為 令，
得
直線過定點 14分
考點：1.橢圓的簡單性質；2.與直線有關的動點軌跡方程.
七星圖書口算速算天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點(2
，1)到兩焦點的距離之和為4
.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，其中點A在x軸下方，且
＝3
.求過O，A，B三點的圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
己知橢圓C：
（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，斜率為1的直線
與橢圓C交于不同兩點M，N.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線過點F（1，0），求線段
的長；
（3）若直線過點（m，0），且以為直徑的圓恰過原點，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：
＝1(a>b>0)上兩點，已知m＝
，n＝
，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝
，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的右焦點為F2（1，0），點
在橢圓上.
（1）求橢圓方程；
（2）點
在圓
上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4
.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足
＋
＝t
(O為坐標原點)，當|
－
|＜
時，求實數t的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
，點
，過
的直線
交拋物線
于
兩點.
（1）若
，拋物線的焦點與
中點的連線垂直于
軸，求直線的方程；
（2）設
為小于零的常數，點
關于軸的對稱點為
，求證：直線
過定點
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
拋物線
在點
，
處的切線垂直相交于點
，直線
與橢圓
相交于
，
兩點．
（1）求拋物線
的焦點
與橢圓
的左焦點
的距離；
（2）設點到直線的距離為
，試問：是否存在直線，使得
，，
成等比數列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線
與橢圓E相交于P,Q兩點,且
的最大值為
.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設
,過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.
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