Question

如圖所示，已知以點 為圓心的圓與直線 相切，過點的動直線 與圓 相交于兩點，是的中點，直線與相交于點 .

(1)求圓的方程；
(2)當時，求直線的方程；
(3)是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是,請說明理由．

Answer 1

（1）; （2）或;（3）是定值，且．

試題分析：（1）已知圓的圓心，再根據直線與圓相切可利用圓心到直線的距離等于半徑來求出圓心，這樣即可求出圓的標準方程; （2）已知直線被圓截得的弦長可聯想到圓的特征三角形的三邊的關系： ，又直線過一點可聯想到設出直線的點斜式方程，但此處一定要注意斜率是否存在從而分兩種情況討論：當斜率不存在時，由圖可直接分析得出;當斜率存在時，先計算出圓心到直線的距離，再結合已知由上述特征三角形的關系可求出直線的斜率，進而得出直線方程; （3）要判斷是否為定值，發現點是弦的中點，根據圓的幾何性質有：，即可得，再由向量運算的知識可知，這樣可轉化為去求，最后結合（2）中所設直線的兩種形式去求出點的坐標，由向量數量積的運算公式可得是一個常數．
試題解析：（1）設圓的半徑為，因為圓與直線相切，所以，故圓的方程為; （2）當直線與軸垂直時，易知符合題意;當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即．連接，則，，由，得，得直線的方程為，所求直線的方程為：或;（3） ，當直線與軸垂直時，得，則，又，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由 ，解得, ，綜上所述，是定值，且．