Question

等差數列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分別是下表第一、二、三列中的某一個數，且a₁，a₂，a₃中的任何兩個數不在下表的同一行．

	第一列	第二列	第三列
第一行	-3	3	1
第二行	5	0	2
第三行	-1	2	0

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：bn=

an+2

2n

，設數列{b_n}的前n項和S_n（n∈N^*），證明：S_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先要結合所給列表充分討論符合要求的所有情況，根據符合的情況進一步分析公差進而求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）問的結果對數列數列{a_n}，進而可求b_n，然后結合通項的特點，利用錯位相減法進行數列的前n項和，即可證明

解答：解：（Ⅰ）當a₁=-3時，不合題意；當a₁=5時，不合題意；
當a₁=-1時，當且僅當a₂=0，a₃=1時符合題意；
因此a₁=-1，a₂=0，a₃=1，
所以等差數列{a_n}的公差d=1，
故a_n=-1+（n-1）•1=n-2．…（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a_n=n-2則bn=

an+2

2n

=

n

2n

．…（5分）
∵Tn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

②…（8分）
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

×

1

2

 所以 Tn=2-

1

2n-1

-

n+2

2n

＜2…（12分）

點評：本題考查的是數列求和問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、錯位相減求和的方法、等差數列通項的求法以及運算能力