Question

（2012•虹口區一模）已知S_n是數列{a_n}的前n項和，2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2（n≥2，n∈N^*），且a1=

1

2

．
（1）求a₂的值，并寫出a_n和a_n+1的關系式；
（2）求數列{a_n}的通項公式及S_n的表達式；
（3）我們可以證明：若數列{b_n}有上界（即存在常數A，使得b_n＜A對一切n∈N^*恒成立）且單調遞增；或數列{b_n}有下界（即存在常數B，使得b_n＞B對一切n∈N^*恒成立）且單調遞減，則

lim

n→∞

bn存在．直接利用上述結論，證明：

lim

n→∞

Sn存在．

Answer 1

分析：（1）由2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2，且a1=

1

2

，令n=2可求a₂，利用a_n+1=S_n+1-S_n可求出a_n和a_n+1的關系式
（2）由（1）可構造得{2ⁿa_n}是首項為1，公差為1的等差數列，可先求2ⁿa_n，進而可求a_n，s_n
（3）由S_n+1-S_n的差的符號可判斷單調性，結合單調性可判斷其的上界，可證

解答：解：（1）∵2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2，且a1=

1

2

．
∴2S₂=S₁-

1

2

+2
∴a2=

1

2

．
當n≥2時，2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2①；
2Sn+1=Sn-(

1

2

)n+2②
②-①得2an+1=an+(

1

2

)n．
又2a2=1=a1+(

1

2

)1，即n=1時也成立．
∴2an+1=an+(

1

2

)n（n∈N^*）…（5分）
解：（2）由（1）得2n+1an+1=2nan+1，2a₁=1，
∴{2ⁿa_n}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴2ⁿa_n=1+（n-1）×1=n，
∴an=

n

2n

，n≥2時，2Sn-Sn-1=-(

1

2

)n-1+2，Sn+an=-(

1

2

)n-1+2，Sn=2-

n+2

2n

，
又S1=a1=

1

2

，也滿足上式，
∴Sn=2-

n+2

2n

（n∈N^*）…（10分）
證明：（3）∵Sn+1-Sn=(2-

n+3

2n+1

)-(2-

n+2

2n

)=

n+1

2n+1

＞0，
∴{S_n}單調遞增，
又Sn=2-

n+2

2 n

＜2，
∴

lim

n→∞

Sn存在…（15分）

點評：本題主要考查了數列的遞推公式在數列通項公式求解中的應用，及構造等差數列求解通項的應用，數列的單調性在數列的范圍求解中的應用