Question

設f(x)=sin(2x+

π

6

)+2msinxcosx，x∈R．
（1）當m=0時，求f（x）在[0，

π

3

]內的最小值及相應的x的值；
（2）若f（x）的最大值為

1

2

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）當m=0時，求f（x）=sin（2x+

π

6

），根據角的范圍利用函數的單調性求出函數的最小值．
（2）把f（x）化為

(m+ 3 2 )2+ 1 4

sin(2x+?)，于是f(x)max=

(m+ 3 2 )2+ 1 4

，令

(m+ 3 2 )2+ 1 4

=

1

2

，解得m的值．

解答：解：（1）當m=0時，求f（x）=sin（2x+

π

6

），因為x∈[0，

π

3

]，則2x+

π

6

∈[

1

6

π，

5

6

π]，
所以fmin=

1

2

，此時x=0或

π

3

．
（2）令f(x)=sin(2x+

π

6

)+2msinxcosx=(m+

3

2

)sin2x+

1

2

cos2x=

(m+ 3 2 )2+ 1 4

sin(2x+?)，
其中tan?=

1 2

m+ 3 2

，于是f(x)max=

(m+ 3 2 )2+ 1 4

，
令

(m+ 3 2 )2+ 1 4

=

1

2

，解得：m=-

3

2

．

點評：本題考查兩角和的正弦公式，三角函數的最值，把f（x）化為

(m+ 3 2 )2+ 1 4

sin(2x+?)是解題的關鍵．