Question

將數列{a_n}中的所有項按第一排三項，以下每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：記表中的第一列數a₁，a₄，a₈，…構成的數列為{b_n}，已知：
①在數列{b_n}中，b₁=1，對于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的數按從左到右的順序均構成公比為q（q＞0）的等比數列；

a1   a2   a3 a4   a5   a6   a7 a8   a9   a10  a11  a12 …

③a66=

2

5

．請解答以下問題：
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N^*）行所有項的和S（k）；
（Ⅲ）若關于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

200

 ， 

1

20

]上有解，求正整數k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由（n+1）b_n+1-nb_n=0，得數列{nb_n}為常數列．故nb_n=1•b₁=1，所以bn=

1

n

．　　　   
（Ⅱ）∵3+4+…+11=63，
∴表中第一行至第九行共含有{a_n}的前63項，a₆₆在表中第十行第三列．　　　     
故a₆₆=b₁₀•q²，而b10=

1

10

，∴q=2． 　　　　　　　　　　　　　　　          　
故S(k)=

bk( 1-qk+2)

1-q

=

1

k

( 2k+2-1 )．　　　　　　　　　　　　　　　　　  　       
（Ⅲ）f(x)=

1-x2

x

=

1

x

-x在x∈[

1

200

 ， 

1

20

]上單調遞減，
故f（x）的最小值是f(

1

20

)=20-

1

20

．                                        
若關于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

200

 ， 

1

20

]上有解，
設m(k)=S(k)+

1

k

=

1

k

•2k+2，則必須m(k)＞20-

1

20

．　　　　　　　　　　　　 
∵m(k+1)-m(k)=

1

k+1

•2k+3-

1

k

•2k+2=

2k+2( k-1 )

k ( k+1 )

≥0（或

m(k+1)

m(k)

=

2k

k+1

≥1）
∴m（1）=m（2）=8，函數m（k）當k≥2且k∈N^*時單調遞增．　　　　　　　　　　　　
而m（4）=16，m(5)=

128

5

＞20-

1

20

，所以k的取值范圍是大于4的一切正整數．