Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），平行于OM直線?在y軸上的截距為m（m＜0），設直線?交橢圓于兩個不同點A、B，
（1）求橢圓方程；
（2）求證：對任意的m的允許值，△ABM的內心I在定直線x=2上．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），建立方程組，從而可求橢圓的方程；
（2）證明△ABM的角平分線MI垂直x軸，從而內心I的橫坐標等于點M的橫坐標，則可得對任意的m的允許值，△ABM的內心I在定直線 x=2上．
解答：（1）解：設橢圓方程為
則∵長軸長是短軸長的2倍，且經過點M（2，1），
∴
所以，橢圓方程為（5分）
（2）證明：因為直線?平行于OM，且在y軸上的截距為m，又，所以直線?的方程為，
由，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，（8分）
設直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，則，
故===（12分）
故k₁+k₂=0，所以，△ABM的角平分線MI垂直x軸，因此，內心I的橫坐標等于點M的橫坐標，則對任意的m的允許值，△ABM的內心I在定直線 x=2上（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是聯立方程組，利用韋達定理，從而確定直線MA、MB的斜率的和為0．