【題目】已知函數
，
.
（1）求 函數
的單調區間；
（2）定義：對于函數，若存在
，使
成立，則稱為函數的不動點. 如果函數
存在兩個不同的不動點，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，
的單調遞增區間為
；當
時，的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
；（2）
.
【解析】
（1）先確定函數的定義域，再求導，討論
的取值，得到函數的單調區間；
（2）依題意可得
，
存在兩個不動點，所以方程
有兩個實數根，即
有兩個解， 令
，利用導數研究函數的單調性、極值，即可求出參數的取值范圍；
解：（1）的定義域為
，
對于函數
，
①當
時，
在
恒成立.
在
恒成立.
在為增函數；
② 當時，由
，得
；
由
，得
；
在為增函數，在減函數.
綜上，當時，的單調遞增區間為
當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為
（2）
，
存在兩個不動點，
方程有兩個實數根，即有兩個解，
令，
，
令
，得
，
當
時，
單調遞減；
當
時，
單調遞增；
，
設
,則
,
,即時,
將兩邊取指數,則
當
時,
當
時 , 
當時，有兩個不同的不動點
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），將曲線上各點縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）得到曲線
，以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）寫出的極坐標方程與直線的直角坐標方程；
（2）曲線上是否存在不同的兩點
，
（以上兩點坐標均為極坐標，
，
），使點
、
到的距離都為3？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場在促銷期間規定：商場內所有商品按標價的
出售，當顧客在商場內消費一定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券：
消費金額（元）的范圍 |
|
|
|
| … |
獲得獎券的金額（元） | 30 | 60 | 100 | 130 | … |
根據上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠，例如：購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優惠額為：
元，設購買商品得到的優惠率＝（購買商品獲得的優惠額）/（商品標價），試問：
（1）若購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優惠率是多少？
（2）對于標價在
（元）內的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可得到不小于
的優惠率？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點，那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
已知拋物線
的焦點為
，
為
上異于原點的任意一點，過點的直線
交于另一點
，交
軸的正半軸于點
，且有
.當點的橫坐標為
時，
為正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線
，且
和有且只有一個公共點
，
（ⅰ）證明直線
過定點，并求出定點坐標；
（ⅱ）
的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設a＞0，0≤x＜2π，若函數y=cos2x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值，并求使y取得最大值和最小值時的x值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直．則這個幾何體有________個面，其體積為________．
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