Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

1

4

，（1-a_n）a_n+1=

1

4

．令b_n=a_n-

1

2

．
（1）求證：數列{

1

bn

}為等差數列；
（2）求和：S_n=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據已知條件對關系式進行恒等變換，會進一步利用定義證明數列是等差數列．
（2）利用（1）的結論，進一步求出數列的通項公式，對關系式進行恒等變換，最后利用裂項相消法求出數列的和．

解答： 解：（1）已知數列滿足關系式：(1-an)an+1=

1

4

，
所以：1-an=

1

4an+1

，
則：an-1=-

1

4an+1

，
所以：an-

1

2

=

1

2

-

1

4an+1

=

2an+1-1

4an+1

=

2(an+1- 1 2 )

4an+1

則：

1

an- 1 2

=

2an+1

an+1- 1 2

=

2an+1-1+1

an+1- 1 2

=2+

1

an+1- 1 2

由于：bn=an-

1

2

所以：bn+1=an+1-

1

2

1

bn+1

-

1

bn

=-2（常數）
所以：數列{

1

bn

}是等差數列．
（2）由（1）得：

1

an- 1 2

=

1

a1- 1 2

-2(n-1)
整理得：an=

1

2

(

n

n+1

)
所以：

an+1

an

=1+

1

n(n+2)

=1+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
Sn=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

=(1+1+…+1)+

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=n+

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=n+

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)

點評：本題考查的知識要點：遞推關系式的恒等變換，利用定義法證明數列是等差數列，裂項相消法的應用．屬于中等題型．