Question

已知函數f（x）的定義域為R，對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求證：f（x）為奇函數；
（2）判斷f（x）在R上的單調性（說明理由）；并求函數f（x）在區間[-2，4]上的值域．
（3）若對任意t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x及奇函數的定義即得證；
（2）設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁）]=-f[（x₂-x₁），根據已知可比較f（x₁）與f（x₂）的大小，從而可知其單調性；由函數的單調性及已知可求出f（-2），f（4），即函數f（x）在區間[-2，4]上的最值，由此可得其值域；
（3）利用函數f（x）的單調性、奇偶性，可把不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0中的符號“f”去掉，分離出參數k后轉化為函數的最值問題即可求得．

解答：解：（1）證明：∵對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數．
（2）f（x）在R上單調遞減．
證明：設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）-[f（x₂-x₁）+f（x₁）]=-f[（x₂-x₁），
因為當x＞0時，f（x）＜0，且x₂-x₁＞0，所以f[（x₂-x₁）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數f（x）為R上的減函數．
由f（x+y）=f（x）+f（y）及f（-1）=2得，f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=4，
f（4）=f（2）+f（2）=2f（2），因為f（x）為奇函數，所以f（-2）=-f（2）=4，f（2）=-4，所以f（4）=-8．
又函數f（x）在區間[-2，4]上單調遞減，所以f（4）≤f（x）≤f（-2），即-8≤f（x）≤4．
故函數f（x）在區間[-2，4]上的值域為[-8，4]．
（3）因為函數f（x）在R上是奇函數，且單調遞減，
所以不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0?f（t²-2kt）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）?t²-2kt＞1-2t²，
所以對任意t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-1）＜0恒成立，
等價于t²-2kt＞1-2t²恒成立，即t∈[1，3]時2k＜3t-

1

t

恒成立，
而易知3t-

1

t

在∈[1，3]上單調遞增，所以(3t-

1

t

)min=3-1=2，
所以有2k＜2，解得k＜1．
所以實數k的取值范圍為（-∞，1）．

點評：本題考查抽象函數的單調性、奇偶性及其應用，考查學生分析問題解決問題的能力，具有一定的綜合性．