Question

（本小題滿分12分）

如圖(1)在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，現將△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如圖2)

(1)求二面角G－EF－D的大小；

(2)在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明過程.

 

Answer 1

【答案】

(1) 45°；(2) 點Q是線段PB的中點

【解析】(1)利用向量法求解，先建系，然后求出二面角兩個面的法向量，再根據法向量的夾角與二面角相等或互補來解.

（2）易證PC,因為E為PC的中點，所以當Q為PB的中點時，PC⊥平面ADQ.也可利用向量法推證.

解：(1)建立如圖所示空間直角坐標系，設平面GEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，則

  取n＝(1，0，1)      …………4分

又平面EFD的法向量為m＝(1，0，0)

∴cos<m，n> ＝                 …………6分

∴<m，n>＝45°                            …………7分

(2)設＝λ (0＜λ＜1)

則＝＋＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ)       …………9分

∵AQ⊥PC ó ·＝0  ó  2×2λ－2(2－2λ)＝0

ó  λ＝                 …………11分

又AD⊥PC，∴PC⊥平面ADQ  ó λ＝

ó  點Q是線段PB的中點.                            …………12分