Question

已知命題p：?x₀∈R，ax₀²+1≤0，命題q：關于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集為R，若“p或q”與“￢p”同時為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：命題p：?x₀∈R，ax₀²+1≤0，其￢p：?x₀∈R，ax₀²+1＞0，當a=0時，直接驗證即可；當a≠0時，則

a＞0 △=0-4a＜0

，解得a的范圍．命題q：關于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集為R，當a=0時，直接驗證；當a≠0時，則

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得a的范圍．若“p或q”與“￢p”同時為真命題，則p為假命題，q為真命題．即可得出．

解答： 解：命題p：?x₀∈R，ax₀²+1≤0，其￢p：?x₀∈R，ax₀²+1＞0，當a=0時，不等式即1＞0，成立；當a≠0時，則

a＞0 △=0-4a＜0

，解得0＜a．綜上可得：0≤a．
命題q：關于x的不等式ax²-ax+1＞0的解集為R，當a=0時，不等式即1＞0，成立；當a≠0時，則

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得0＜a＜4．綜上可得：0≤a＜4．
若“p或q”與“￢p”同時為真命題，則p為假命題，q為真命題．
∴

a≥0 0≤a＜4

．
∴實數a的取值范圍是[0，4）．

點評：本題考查了簡易邏輯的判定、不等式的解集與判別式的關系、分類討論思想方法，考查了推理能力，屬于基礎題．