Question

設M是由滿足下列兩個條件的函數f(x)構成的集合：

①議程f(x)－x＝0有實根；②函數f(x)的導數(x)滿足0＜(x)＜1．

(Ⅰ)若，判斷方程f(x)－x＝0的根的個數；

(Ⅱ)判斷(Ⅰ)中的函數f(x)是否為集合M的元素；

(Ⅲ)對于M中的任意函數f(x)，設x₁是方程f(x)－x＝0的實根，求證：對于f(x)定義域中任意的x₂，x₃，當|x₂－x₁|＜1，且|x₃－x₁|＜1時，有|f(x₃)－f(x₂)|＜2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令 　　則 　　是單調遞減函數．　　2分 　　又取 　　在其定義域上有唯一實根．　　4分 　　(2)由(I)知方程有實根(或者由，易知x＝0就是方程的一個根)，滿足條件①．　　5分 　　 　　滿足條件②．故是集合M中的元素．　　7分 　　(3)不妨設在其定義域上是增函數． 　　　　8分 　　是其定義域上的減函數． 　　．　　10分 　　 　　　　12分