Question

已知數列{a_n}中的相鄰兩項a_2k-1、a_2k是關于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇及a_2n（n≥4）（不必證明）；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先因式分解求得方程的兩根，由條件a_2k-1≤a_2k寫出當k=1，2，3，4時相鄰兩項，
（Ⅱ）由（1），尋找規(guī)律，得到數列{a_n}中的相鄰兩項a_2k-1、a_2k的通項，最后采用分組求和的方法求數列{a_n}的前2n項和S_2n

解答：解：（I）解：易求得方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個根為x₁=3k，x₂=2^k．
當k=1時x₁=3，x₂=2，所以a₁=2，a₂=3
當k=2時，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4，a₄=6
當k=3時，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8，a₆=9
當k=4時，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12，a₈=16
因為n≥4時，2ⁿ＞3n，所以a_2n-1=3（2n-1），a_2n=2ⁿ（n≥4）
（Ⅱ）S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（3+6+…+3n）+（2+2²+…+2ⁿ）
=

3n2+3n

2

+2n+1-2

點評：本題主要考查等差、等比數列的基本知識，考查運算及推理能力．對于此類問題要認真審題、冷靜解析，加上扎實的基本功就可以解決問題．