Question

第一行是等差數列0，1，2，3，…，2008，將其相鄰兩項的和依次寫下作為第二行，第二行相鄰兩項的和依次寫下作為第三行，依此類推，共寫出2008行．
0，1，2，3，…，2005，2006，2007，2008
1，3，5，…，4011，4013，4015
4，8，…，8024，8028
…
（1）由等差數列性質知，以上數表的每一行都是等差數列．記各行的公差組成數列{d_i}（i=1，2，3…，2008）．求通項公式d_i；
（2）各行的第一個數組成數列{b_i}（1，2，3，…，2008），求數列{b_i}所有各項的和．

Answer 1

分析：（1）記a_i•j表示第i行第j列的項，求出 d_i+1=2d_i，可得{d_i}是等比數列，d_i=d₁•2^i-1=2^i-1．
（2）化簡b_i+1=a_i1+a_i2=2b_i+2^i-1，可得

bi+1

2i+1

=

bi

2i

+

1

4

，得數列{

bi

2i

}是等差數列，b_i=

1

4

（i-1）2ⁱ=（i-1）2^i-2，數列{b_i}所有各項的和S=0+1+2×2+3×2²+…+2007×2²⁰⁰⁶，用錯位相減法，得到S的值．

解答：解． （1）記a_i•j表示第i行第j列的項，
∵d_i+1=a_{（i+1）•（k+1）}-a_{（i+1）•k} =a_{i•（k+1）}+a_{i•（k+2）}-a_i•k-a_{i•（k+1）}=a_{i•（k+2）}-a_i•k=2d_i，
∴

di+1

di

=2，則{d_i}是等比數列，d_i=d₁•2^i-1=2^i-1．
（2）b_i+1=a_i1+a_i2=a_i1+a_i1+d_i=2a_i1+2^i-1=2b_i+2^i-1，∴

bi+1

2i+1

=

bi

2i

+

1

4

．
∴數列{

bi

2i

}是等差數列，

bi

2i

=

1

4

（i-1），所以 b_i=

1

4

（i-1）2ⁱ=（i-1）2^i-2，
設數列{b_i}所有各項的和S，則 S=0+1+2×2+3×2²+…+2007×2²⁰⁰⁶  ①，
∴2 S=0+1×2+2×2²+3×2³+…+2007×2²⁰⁰⁷ ②，
用①-②可得-S=-1003×2²⁰⁰⁸-1．
從而得到S=1003×2²⁰⁰⁸ +1．

點評：本題是中檔題，考查數列的有關知識，證明數列是等差數列，數列的遞推關系式的應用，數列與函數的綜合應用，
考查計算能力，屬于中檔題．