Question

【題目】

等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，AF⊥BF，O為AB的中點，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF互相垂直．

(1)求證：AF⊥平面CBF；

(2)設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；

(3)求三棱錐C－BEF的體積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)．

【解析】試題分析：（1）要證線與面垂直，需先證明直線垂直于平面內的兩條相交直線，因為矩形所在的平面和平面互相垂直，所以垂直于平面，從而垂直于，依題意，垂直于，從而命題得證；（2）取的中點為，由三角形中位線定理，平行且等于的一半，而也是如此，從而平行且等于，四邊形為平行四邊形，所以平行于，由線面平行的判定定理即可得證平行于平面；（3）先計算底面三角形的面積，在等腰梯形中，可得此三角形的高為，底為1，再計算三棱錐的高，即為，最后由三棱錐體積計算公式計算即可.

試題解析：(1) ∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF，

∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB．

又∵AF⊥BF，BF∩BC＝B，BF，BC平面CBF．

∴AF⊥平面CBF．

(2) 設DF的中點為N，則MN∥CD，MN＝CD，

AO∥CD，AO＝CD，則MN∥AO，MN＝AO，

∴四邊形MNAO是平行四邊形，∴OM∥AN．

又AN平面DAF，OM平面DAF，∴OM∥平面DAF．

(3) 過點E作EH⊥AB于H，則∠EBH＝60°，

所以EH＝，EF＝AB－2HB＝1，故S△BEF＝×1×＝，VC－BEF＝×S△BEF×BC＝．