Question

已知函數f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，g（x）=a（e^x-x），若f（x）-x²≤（x+1）g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：依題意，f（x）-x²≤（x+1）g（x）恒成立?a（e^x-x）≥ln（x+1）-x恒成立，令y=e^x-x，利用導數可求得y_最小值=e⁰-0=1，故問題轉化為求a≥

ln(x+1)-x

ex-x

恒成立．
令t（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），易求t（x）_極大值=t（x）_最大值=t（0）=0，從而可求得(

ln(x+1)-x

ex-x

)max=0，繼而得到a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，g（x）=a（e^x-x），
∴f（x）-x²≤（x+1）g（x）恒成立?（x+1）[ln（x+1）-x]≤a（x+1）（e^x-x）恒成立，又x+1＞0，
∴a（e^x-x）≥ln（x+1）-x恒成立，
令y=e^x-x，則y′=e^x-1，當-1＜x＜0時，y′＜0；當x＞0時，y′＞0，
∴當x=0時，y=e^x-x取得極小值，也是最小值，即y_最小值=e⁰-0=1＞0，①
∴a≥

ln(x+1)-x

ex-x

恒成立．
令t（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），則t′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，當-1＜x＜0時，y′＞0；當x＞0時，y′＜0，
∴當x=0時，t（x）=ln（x+1）-x取得極大值，t（x）_極大值=t（x）_最大值=t（0）=ln1-0=0，②
由①②知，y=

ln(x+1)-x

ex-x

中，當x=0時，分子t（x）_最大值=0，分母y_最小值=1，
∴(

ln(x+1)-x

ex-x

)max=0，
∴a≥0．

點評：本題考查函數恒成立問題，求得(

ln(x+1)-x

ex-x

)max=0是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于難題．