Question

（湖南卷理20）若A、B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”.已知當x>2時，點P（x,0）存在無窮多條“相關弦”.給定x₀>2.

（I）證明：點P（x₀,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同；

(II) 試問：點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請說明理由.

Answer 1

解: （I）設AB為點P（x₀,0）的任意一條“相關弦”，且點A、B的坐標分別是

（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁x₂）,則y²₁=4x_1, y²₂=4x₂,

兩式相減得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）.因為x₁x₂,所以y₁+y₂0.

設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（x_m, y_m）,則k=.從而AB的垂直平分線l的方程為

又點P（x₀,0）在直線上，所以

而于是故點P（x₀,0）的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，

整理得     （·）

則是方程（·）的兩個實根，且

設點P的“相關弦”AB的弦長為l，則

   

因為0<<4x_m=4(x_m-2) =4x₀-8,于是設t=,則t(0,4x₀-8).

記l²=g(t)=-[t-2(x₀-3)]²+4(x₀-1)^2.

若x₀>3,則2(x₀-3) (0, 4x₀-8),所以當t=2(x₀-3),即=2(x₀-3)時, l有最大值2(x₀-1).

若2<x₀<3,則2(x₀-3)0,g(t)在區間（0，4 x₀-8）上是減函數，

所以0<l²<16(x₀-2),l不存在最大值.

綜上所述，當x₀>3時，點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中存在最大值，且最大值

為2（x₀-1）；當2< x₀3時，點P（x₀,0）的“相關弦”的弦長中不存在最大值.