Question

過點P（2，4）的直線l與雙曲線C：交于A、B兩點，且．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）過線段AB上的點作曲線y=x²+8x+12的切線，求切點橫坐標的取值范圍；
（Ⅲ）若過P的另一直線l₁與雙曲線交于C、D兩點，且，則∠ACD=∠ABD一定成立嗎？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）點斜式設出直線方程y-4=k（x-2），聯立直線和雙曲線的方程．再由，即P是AB的中點．由中點公式即可求得k，得到直線方程．
（2）由導數的幾何意義，設出切點，寫出切線方程．聯立方程，解得切線方程和直線l的交點，再由AB的范圍算出切點橫坐標的范圍．
（3）由CD和AB垂直，寫出直線l₁的方程．聯立l₁和雙曲線的方程，解出C，D的坐標．從而進一步判斷AC，AD及BC，BD的關系．再由A，B，C，D四點共圓得證．
解答：解：（Ⅰ）由題意，直線l的斜率一定存在，可設直線l的方程為y-4=k（x-2），
則由得（2-k²）x²+（4k²-8k）x-4k²+16k-24=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知P為AB中點，
所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=8．
由，得k=1．
所以直線l的方程為y=x+2．
（Ⅱ）由y=x²+8x+12，得y'=2x+8．
設（x，y）為曲線y=x²+8x+12上一點，
過（x，y）的切線方程為y-y=（2x+8）（x-x），
即y=（2x+8）（x-x）+x²+8x+12．
與l方程聯立得解得．
又由解得A（-2，0）、B（6，8）．
∴．
故．
（Ⅲ）∠ACD=∠ABD一定成立．
由點P（2，4）和直線l得l₁：x+y=6．
聯立方程組
得C（，），D（，）．
所以，即．由對稱性可知，．
所以A、B、C、D四點共圓，所以∠ACD=∠ABD．
點評：解析幾何和導數的考查一直是近幾年高考的必考知識點，本題就是幾何和導數的簡單綜合．