Question

甲廠以x千克/小時的速度勻速生產某種（生產條件要求1≤x≤10），每一小時可獲得的利潤是100（5x+1-

3

2

）元
（Ⅰ）要使生產該產品2小時獲得的利潤為3000元，求x的值；
（Ⅱ）要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求此最大利潤．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）要使生產該產品2小時獲得的利潤為3000元，可得200（5x+1-

3

x

）=3000，即可求x的值；
（Ⅱ）可得生產1千克所獲得的利潤為90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．進而得到生產900千克該產品獲得的利潤，利用二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，200（5x+1-

3

x

）=3000，即5x²-14x-3=0，
∵1≤x≤10，∴x=3；
（Ⅱ）生產900千克該產品獲得的利潤為90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．
設f（x）=5+

1

x

-

3

x2

，1≤x≤10．
則f（x）=-3(

1

x

-

1

6

)2+

1

12

+5，當且僅當x=6取得最大值．
故獲得最大利潤為90000×

61

12

=457500元．
因此甲廠應以6千克/小時的速度生產，可獲得最大利潤457500元．

點評：正確理解題意和熟練掌握二次函數的單調性是解題的關鍵．