Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0對任意x∈[e，e2]恒成立，求實數a的取值范圍（e為自然常數）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ﹣a= = （x＞0），

當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，單調減區間為[1，+∞）；

當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），單調減區間為（0，1]

（2）解：令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，則F′（x）= ，

若﹣a≤e，即a≥﹣e，

F（x）在[e，e2]上是增函數，

F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，

a≤ （e﹣1﹣e2），無解．

若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，

F（x）在[e，﹣a]上是減函數；在[﹣a，e2]上是增函數，

F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．

F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤ （e﹣1﹣e2），

∴﹣e2≤a≤ （e﹣1﹣e2）．

若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，

F（x）在[e，e2]上是減函數，

F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，

∴a＜﹣e2，

綜上所述，a≤ （e﹣1﹣e2）

【解析】（1）先求導，再分類討論即可得到函數的單調性；（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，從而求導F′（x）= ，再由導數的正負討論確定函數的單調性，從而求函數的最大值，從而化恒成立問題為最值問題即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．