Question

某工藝品廠要生產如圖所示的一種工藝品，該工藝品由一個圓柱和一個半球組成，要求半球的半徑和圓柱的底面半徑之比為3：2，工藝品的體積為34πcm³．設圓柱的底面直徑為4x（cm），工藝品的表面積為S（cm²）．
（1）試寫出S關于x的函數關系式；
（2）怎樣設計才能使工藝品的表面積最小？

Answer 1

分析：（1）由題知圓柱的底面半徑為2x，半球的半徑為3x．設圓柱的高為h（cm）．通過試工藝品的體積，求出圓柱的高于底面半徑的關系，然后寫出S關于x的函數關系式；
（2）利用（1）的表達式，通過導數，求出極值點，說明高、底面半徑、球的半徑的數值使工藝品的表面積最小．

解答：解：（1）由題知圓柱的底面半徑為2x，半球的半徑為3x．
設圓柱的高為h（cm）．因為工藝品的體積為34πcm³，所以

1

2

×

4

3

(3x)3+π(2x)2h=34π，
所以h=

17

2x2

-

9

2

x，所以工藝品的表面積為
S=

1

2

×4π(3x)2+2π(2x)h+π(3x)2+2×π(2x)2
=35πx2+4πx(

17

2x2

-

9

2

x)
=17π(x2+

2

x

).
由x＞0且h=

17

2x2

-

9

2

x＞0，得0＜x＜

3 51

3

.
所以S關于x的函數關系式是S=17π(x2+

2

x

)，0＜x＜

3 51

3

.
（2）由（1）知，S′=17π(2x-

2

x

)=

34π(x3-1)

x2

，0＜x＜

3 51

3

.令S'=0，得x=1．
當0＜x＜1時，S'＜0，所以S關于x∈（0，1]是單調減函數；
當1＜x＜

3 51

3

時，S'＞0，所以S關于x∈[1，

3 51

3

)是單調增函數．
所以，當x=1時，S取得最小值Smin=17π(12+

2

1

)=51π，此時h=4．
答：按照圓柱的高為4cm，圓柱的底面半徑為2cm，半球的半徑為3cm設計，工藝品的表面積最小，為51πcm²．

點評：本題是中檔題，考查空間想象能力，邏輯思維能力，體積計算能力，能夠正確求出表面積的表達式是解好本題的關鍵，利用導數求函數的最值是常用方法．