Question

【題目】過拋物線外一點M作拋物線的兩條切線，兩切點的連線段稱為點M對應的切點弦已知拋物線為，點P，Q在直線l：上，過P，Q兩點對應的切點弦分別為AB，CD

當點P在l上移動時，直線AB是否經過某一定點，若有，請求出該定點的坐標；如果沒有，請說明理由

當時，點P，Q在什么位置時，取得最小值？

Answer 1

【答案】（1）直線AB經過定點 ；（2）當，時，取得最小值4.

【解析】

設，，，根據導數的幾何意義，分別求出直線PA，PB的方程可得，可得直線AB的方程進而求出定點．

設，，根據可得，妨設，則，且，，根據基本不等式即可求出．

解：設，，，

則，，

拋物線的方程可變形為，則，

直線PA的斜率為，

直線PA的方程，化簡，

同理可得直線PB的方程為，

由可得，

直線AB的方程為，則是方程的解，

直線AB經過定點．

設，，

由可知，，

，

，即，

，異號，

不妨設，則，且，

，當且僅當，時取等號，

即當，時，取得最小值4