【題目】如圖，在四棱錐
中，已知
底面
，
，
，
，
，異面直線
和
所成角等于
.
（1）求直線和平面
所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一點
，使得平面
與平面
所成銳二面角的正切值為
？若存在，指出點在棱上的位置；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
；（2）存在這樣的
點，為棱
上靠近
的三等分點.
【解析】分析：（1）以
為原點，
，
，
所在直線分別為
，
，
軸，建立空間直角坐標系.利用空間向量法能求出直線
和平面
所成角的正弦值.
（2）先假設棱上存在一點，求出平面
與平面
的法向量，進而求得二面角的余弦值，結合其正切值為
，求出E點的位置.
詳解：解：（1）如圖，以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系.
易知
是等腰直角三角形，∴
.
設
，則
，
，
，
，
.
則
，
，
∵異面直線和所成角等于
，
∴
，即
，解得
，
∵
，
.
設平面的一個法向量為
，
則由
，得
，所以可取
，
∴
.
∴直線和平面所成角的正弦值為.
（2）假設存在，設
，且
，則
，
，設平面
的一個法向量為
，
則由
，得
，
取
，又有平面的法向量
，
由平面與平面所成銳二面角的正切值為，可知余弦值為
，
由
，得
，
解得
或
（不合題意）.
∴存在這樣的點，為棱上靠近的三等分點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）滿足 
， 
則稱函數f（x）是[a，b]上的“中值函數”．已知函數 
是[0，m]上的“中值函數”，則實數m的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點P在圓柱OO1的底面⊙O上，
分別為⊙O、⊙O1的直徑，且
平面
．
（1）求證：
；
（2）若圓柱
的體積
，
①求三棱錐A1﹣APB的體積．
②在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與
所成角的余弦值為
？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為
（1）求頻率分布直方圖中
的值；
（2）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；
（3）從評分在
的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C1： 
（a＞b＞0）的離心率為 
，P（﹣2，1）是C1上一點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設A，B，Q是P分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點C，D，點C關于原點的對稱點為E．證明：直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知過原點O的直線與函數
的圖象交于A，B兩點，分別過A，B作y軸的平行線與函數
圖象交于C，D兩點，若
軸，則四邊形ABCD的面積為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2． （Ⅰ）若M為CD中點，求證：AM⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知圓
與
軸的左右交點分別為
，與
軸正半軸的交點為
.
（1）若直線
過點
并且與圓
相切，求直線的方程；
（2）若點
是圓上第一象限內的點，直線
分別與軸交于點
，點
是線段
的中點，直線
，求直線
的斜率.
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