Question

如圖，側棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，點B為DE中點．
（Ⅰ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析：（1）先證AB⊥BC，再由直三棱柱的定義證明AA₁⊥BC，從而得到直線垂直于平面，根據面與面垂直的判定定理得到結論．
（2）建立坐標系，寫出要用的點的坐標，在兩個平面上，各自寫出兩個向量，設出平面的法向量．根據向量垂直的充要條件，得到平面的法向量，根據法向量之間角的關系得到結果．

解答：解：（Ⅰ）法一、在平行四邊形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，點B為DE中點．
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，
從而∠ABC=90°，即AB⊥BC．
又AA₁⊥面ABC，BC?面ABC
∴AA₁⊥BC，而AA₁∩AB=A，
∴⊥平面A₁ABC₁．
∵BC?平面A₁BC
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁
（Ⅱ）由題意知建立坐標系，以A為原點，AC所在的直線為y軸，AA1為z軸建立坐標系，
A（0，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，4），B（

3

，1，0）
設出兩個平面的法向量分別是

m

=（x，y，z），

n

（a，b，c）
∵

m

•

AA1

=0，

m

•

AC

=0，

n

•

CB

=0，

n

•

A1C

=0，
∴

m

=（1，0，0），

n

=（

3

，1，1），
∴cosθ=

3

5

=

15

5

∴二面角A-A₁C-B的大小為arccos

15

5

點評：這是一個典型的立體幾何題目，是高考題中常出現的問題，有邊角關系的證明，有用空間向量求解關于面面角的問題，解題時主要在建立坐標系，寫出點的坐標，用向量法解題．