Question

．（本小題滿分12分）對于函數，若，則稱為的“不動點”，若，則稱為的“穩定點”.函數的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為和，即，.

（1）求證：；

（2）若，且，求實數的取值范圍；

（3）若是上的單調遞增函數，是函數的穩定點，問是函數的不動點嗎？若是，請證明你的結論；若不是，請說明的理由.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）若，則顯然成立；若，設，

則，，故.     …………3分

（2）有實根，.又，所以，

即的左邊有因式，

從而有.         …………5分

，要么沒有實根，要么實根是方程的根.若沒有實根，

則；若有實根且實根是方程的根，

則由方程，得，

代入，有.由此解得，再代入得，由此，

故a的取值范圍是.          …………8分

（3）由題意：是函數的穩定點則，設，

是上的單調增函數，則，

所以，矛盾.

若，是上的單調增函數，則，

所以，矛盾，故，

所以是函數的不動點.         …………12分

 

【解析】略