Question

已知數列{a_n}滿足：a1=-1，an+1=(1+cos2

nπ

2

)an+sin2

nπ

2

，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；并證明：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），m∈N^*
（2）設fn(x)=

1

2

+rcos[(a1+2)x]+r2cos[(a3+2)x]+r3cos[(a5+2)x]+…+rn-1cos[(a2n-3+2)x]（n≥2，n∈N^*）
①證明：對任意x∈R，當|r|≤

1

2

時，rcos[(a1+2)x]+r2cos[(a3+2)x]≥-

3

8

②證明：當|r|≤

1

2

，f_2n+1（x）對任意x∈R和自然數n（n≥2）都有f_2n+1（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）將已知條件化簡為a_n+1=[1+

1+cosnπ

2

]a_n+

1-cosnπ

2

，而a₁=-1，可求得a₂，a₃，a₄；并能證明：a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），m∈N^*
（2）①討論r，在r≠0的情況，利用二次函數的最值，結合r的范圍運用放縮法證明；
②利用放縮法將所求轉化，并運用等比數列求和，再結合r的范圍放縮證明．

解答：解：（1）∵a_n+1=[1+

1+cosnπ

2

]a_n+

1-cosnπ

2

，a₁=-1，
∴a₂=a₁+1=0，a₃=2a₂=0，a₄=a₃+1=1；
a_2m+1=2a_2m=2a_（2m-1）+1
=2{[1+

1+cos(2m-1)π

2

]a_2m-1+

1-cos(2m-1)π

2

}
=2（a_2m-1+1），
∴a_2m+1+2=2a_2m-1+4=2（a_2m-1+2）．m∈N^*
（2）由（1）可得：a_2m+1+2是以1為首項，2為公比的等比數列，故a_2m+1+2=2^m，
∴a_2m+1=2^m-2，
∴f_n（x）=

1

2

+rcosx+r²cos2x+r³cos4x+…+r^n-1cos2^n-2x．（n≥2，n∈N^*）
①證明：1°當r=0時，顯然0≥-

3

8

，
2°當r≠0時，設φ（x）=rcosx+r²cos2x=r²（2cos²x-1）+rcosx
=2r2(cosx+

1

4r

)2-

1

8

-r2≥-

1

8

-r2≥-

1

8

-(

1

2

)2=-

3

8

．（|r|≤

1

2

）
當|r|≤

1

2

時，，?x∈R，?n∈N*（n≥2），
②證明：f2n+1=

1

2

+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x+…+r2n-1cos22(n-1)x+r2ncos22n-1x
=

1

2

+φ(x)+r2φ(4x)+…+r2(n-1)•φ(4n-1x)
≥

1

2

-

3

8

(1+r2+…+r2(n-1))
≥

1

2

-

3

8

(1+

1

4

+…+

1

4n-1

)
=

1

2

-

3

8

•

1- 1 4n

1- 1 4

=

1

2•4n

=

1

22n+1

＞0．

點評：本題是不等式的綜合題，關鍵是靈活運用放縮法將不等關系“細化”，放縮法證明不等式是高考的難點，也是綜合題里的常考點，屬于難題．