Question

已知函數g（t）=bt²+at是定義域為[a-3，2a]的奇函數，而函數y=f（x）為R上的偶函數，若對于x≥0時，都有f（x+2）=-f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log₂[g（x）+1]則f（-3）+f（4）等于（　　）

• A．log₂6
• B．log₂

  3

  2

• C．1
• D．-1

Answer 1

分析：根據函數g（t）是奇函數，建立條件關系即可求a，b的值，然后利用函數f（x）的奇偶性和條件，得到函數f（x）為周期函數，利用奇偶性和周期性之間的關系代入即可求值．

解答：解：∵函數g（t）=bt²+at是定義域為[a-3，2a]的奇函數，
∴定義域關于原點對稱，即a-3+2a=0，解得a=1，
且g（-t）=-g（t），
即bt²-at=-bt²-at，
∴b=-b，解得b=0，
∴g（t）=t．
∵x≥0時，都有f（x+2）=-f（x），
∴x≥0時，都有f（x+4）=f（x），
即此時函數為周期函數周期為4．
∴f（4）=f（0）=log₂[g（0）+1]=log₂1=0，
∵函數y=f（x）為R上的偶函數，
∴f（-3）=f（3）=-f（1）=-log₂[g（1）+1]=-log₂2=-1，
∴f（-3）+f（4）=-1，
故選：D．

點評：本題主要考查函數奇偶性和周期性的應用，利用奇偶性的定義和周期性將數值進行轉化是解決本題的關鍵．