Question

在直角坐標平面中，已知點P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整數，對平面上任一點A₀，記A₁為A₀關于點P₁的對稱點，A₂為A₁關于點P₂的對稱點，…，A_n為A_n-1關于點P_n的對稱點．
（1）求向量

A0A2

的坐標；
（2）當點A₀在曲線C上移動時，點A₂的軌跡是函數y=f（x）的圖象，其中f（x）是以3為周期的周期函數，且當x∈（0，3]時，f（x）=lgx．求以曲線C為圖象的函數在（1，4]上的解析式．

Answer 1

分析：（1）若兩個點關于第三點對稱，則第三點為這兩個點的中點，所以先設出A₀的坐標，利用對稱求出A₁坐標，A₂坐標，就可以得到向量

A0A2

的坐標．
（2）先根據函數y=f（x）的周期性和x∈（0，3]時，f（x）的解析式求出x∈（3，6]時，f（x）的解析式，再把（1）中求出A₂點坐標代入，化簡，即得當x₀∈（1，4]時x₀，y₀滿足的關系式，即為以曲線C為圖象的函數在（1，4]上的解析式．

解答：解：（1）設A₀（x₀，y₀），∵A₁為A₀關于點P₁的對稱點，
∴A₁坐標為（2-x₀，4-y₀）
∵A₂為A₁關于點P₂的對稱點，∴A₂坐標為（2+x₀，4+y₀）
∴

A0A2

=(2，4)；
（2）∵f（x）是以3為周期的周期函數，且當x∈（0，3]時，f（x）=lgx
∴當x∈（3，6]時，f（x）=lg（x-3）
∵A₂的軌跡是函數y=f（x）的圖象，
∴當2+x₀∈（3，6]時，4+y₀=lg（2+x₀-3）=lg（x₀-1），
即x₀∈（1，4]時，4+y₀=lg（x₀-1），y₀=lg（x₀-1）-4，
∴A₀（x₀，y₀）點滿足y=lg（x-1）-4．
∴當x∈（1，4]時，g（x）=lg（x-1）-4．

點評：本題主要考查了中點坐標公式的應用，以及利用函數周期性求函數解析式的方法．