Question

已知x＞0，y＞0，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

探究：本題若直接用綜合法，則不易發現與已知不等式的關系，因而可試用分析法． 　　證明：要證明 　　只需證：(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2， 　　即證：x3＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 　　即證：3x4y2＋3x2y4＞2x3y3． 　　∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0， 　　即證：3x2＋3y2＞2xy， 　　∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 　　∴3x2＋3y2＞2xy成立， 　　規律總結：用分析法思考數學問題的順序可表示為：(對于命題“若A則D”) 　　分析法的思考順序是執果索因的順序，是從D上溯尋其論據，如C、C1、C2等，再尋求C、C1、C2的論據，如B、B1、B2、B3、B4等等，繼而尋求B、B1、B2、B3、B4的論據，如果其中之一B的論據恰為已知條件，于是命題已經得證． 　　用分析法與綜合法來敘述證明，語氣之間也應當有區別．在綜合法中，每個推理都必須是正確的，每個論斷都應當是前面一個論斷的必然結果，因此所用語氣必須是肯定的．而在分析法中，就應當用假定的語氣，習慣上常用這樣一類語句：假如要A成立，就需先有B成立；如要有B成立，又只需有C成立……這樣從結論一直推到已知條件．當我們應用分析法時，所有各個中間的輔助命題，僅僅考慮到它們都是同所要證明的命題是等效的，而并不是確信它們都是真實的，直至達到最后已知條件或明顯成立的事實后，我們才確信它是真實的，從而可以推知前面所有與之等效的命題也都是真實的，于是命題就被證明了． 　　用分析法證題，是尋求不等式成立的充分條件而不是必要條件，分析過程沒有必要“步步可逆”．