Question

【題目】已知函數.

（1）若函數的定義域為，求的取值范圍；

（2）設函數，若對任意，總有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析 ：（1）函數的定義域為，即在上恒成立，分和討論即可.

（2）由題對任意，總有，等價于在上恒成立，設，則， （當且僅當時取等號）.分當時和當時討論可得的取值范圍是.

試題解析：（1）函數的定義域為，即在上恒成立，

當時， 恒成立，符合題意；

當時，必有

綜上， 的取值范圍是.

（2）∵

∴

對任意，總有，

等價于在上恒成立，

在上恒成立，（*）

設，則， （當且僅當時取等號）.

（*）在上恒成立，（**）

當時，（**）顯然成立，

當時， 在上恒成立，

令， ，只需.

∵ 在區間上單調遞增，

∴

令， ，只需

而， 且，∴，故.

綜上， 的取值范圍是.