Question

當n∈N⁺時，定義函數N（n）表示n的最大奇因數．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，記S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+…+N（2ⁿ-1）（n∈R⁺）則：（1）S（3）=

16

；（2）S（n）=

4^n-1

．

Answer 1

分析：由題意當n∈N^*時，定義函數N（n）表示n的最大奇因數，利用此定義有知道N（2ⁿ）=1，當n為奇數時，N（n）=n，在從2^n-1到2ⁿ-1這2^n-1個數中，奇數和偶數各有2^n-2個．且在這2^n-2個偶數中，不同的偶數的最大奇因數一定不同，那么N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1），利用累加法即可求得．

解答：解：因N（2ⁿ）=1，
當n為奇數時，N（n）=n，
在從2^n-1到2ⁿ-1這2^n-1個數中，奇數有2^n-2個，偶數有2^n-2個．
在這2^n-2個偶數中，不同的偶數的最大奇因數一定不同，
從2^n-1到2ⁿ-1共有2^n-1個數，而1到2ⁿ-1共有2^n-1個不同的奇數，
故有N（2^n-1）=2¹-1=1，N（2^n-1+1）=2²-1=3，…，N（2ⁿ-1）=2ⁿ-1．
那么S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1）
=1+3+5+…+2ⁿ-1=

2n-1(1+2n-1)

2

=4^n-1．
當n=3時，S（3）=16．
故答案為：16；4^n-1．

點評：此題重點考查了學生對于新定義的準確理解，另外找準要求的和式具體的數據，有觀察分析要求的和式的特點選擇累加求和，并計算中需用等比數列的求和公式，重點是了學生的理解能力及計算能力．