Question

已知橢圓C1：

x2

2

+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點和下頂點分別為A，B，且F是橢圓C₁的右焦點．
（1）若點P是曲線C₂上位于第二象限的一點，且△APF的面積為

1

2

+

2

4

，求證：AP⊥OP；
（2）點M和N分別是橢圓C₁和圓C₂上位于y軸右側的動點，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，求證：直線MN恒過定點．

Answer 1

證明：（1）設曲線C₂上的點P（x₀，y₀），且x₀＜0，y₀＞0，由題意A（-

2

，0），F（1，0）
∵△APF的面積為

1

2

+

2

4

，∴

1

2

|AF|y0=

1

2

(1+

2

)y0=

1

2

+

2

4

∴y0=

2

2

，x0=-

2

2

∴

AP

•

OP

=(

2

2

，

2

2

)•(-

2

2

，

2

2

)=0
∴AP⊥OP；
（2）設直線BM的斜率為k，則直線BN的斜率為2k，又兩直線都過點B（0，-1）
∴直線BM的方程為y=kx-1，直線BN的方程為y=2kx-1
將y=kx-1代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-4kx=0，∴xM=

4k

2k2+1

，∴yM=

2k2-1

2k2+1

∴M（

4k

2k2+1

，

2k2-1

2k2+1

）
同理N（

4k

4k2+1

，

4k2-1

4k2+1

）
∴直線MN的斜率為kMN=

4k2-1 4k2+1 - 2k2-1 2k2+1

4k 4k2+1 - 4k 2k2+1

=-

1

2k

∴直線MN的方程為y-

2k2-1

2k2+1

=-

1

2k

（x-

4k

2k2+1

）
整理得y=-

1

2k

x+1
∴直線MN恒過定點（0，1）